Définition
Groupe : monoïde \((G,*)\) avec \(*\) une loi de composition interne tq - \(*\) est associative
- \(*\) admet un neutre \(e\)
- chaque élément de \(G\) a un symétrique
(
Monoïde,
Loi de composition interne - Opération interne - Loi,
Associativité,
Elément neutre - Uniférité,
Elément opposé - Inverse additif)
Groupe : ensemble \(G\) muni d'une loi de composition interne \(*\) tq :- \(*\) est associative
- \(*\) admet un élément neutre
- tout élément de \(G\) admet un symétrique pour \(*\)
Définition d'un groupe (à partir d'un ensemble) :
- \(G\) est un ensemble muni d'une loi de composition interne \(*\)
- \(*\) est associative
- \(*\) admet un élément neutre
- tout élément de \(G\) admet un symétrique pour \(*\)
$$\Huge\iff$$
(
Ensemble,
Loi de composition interne - Opération interne - Loi,
Associativité,
Elément neutre - Uniférité,
Elément symétrique)
Caractéristiques de groupes
Ordre (théorie des groupes)Exposant d'un groupe
Opérations sur les groupes
Morphisme de groupe
Types de groupes
Groupe de symétriesGroupe cyclique
Groupes particuliers
Groupe symétriqueGroupe additifGroupe commutatif - Groupe abélienSous-groupeGroupe produit
Exemples de groupes
Ensemble des bijections d'un ensemble
Théorèmes de la théorie des groupes
Théorème de Cayley
Dans un groupe fini, si on compose un certain nombre de fois un élément avec lui-même, on finit par tomber sur l'élément neutre $${{a*a*\cdots*a}}={{e}}$$
(
Ensemble fini,
Elément neutre - Uniférité)
